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Exercice 1 (20 points) — Probabilités
On dispose d’une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
et d’une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.
Les boules sont indiscernables au toucher.
- On tire une boule dans l’urne A. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
- On tire une boule dans l’urne B. Justifier que la probabilité d’obtenir un nombre premier est de 1/3.
- Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
- On tire une boule au hasard dans l’une des urnes. Démontrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.
- En repartant avec la composition initiale des urnes A et B, on décide d’ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d’elles. Dans ces conditions, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l’urne choisie ?
Correction Exercice 1 — Probabilités
Probabilités — Équiprobabilité — Multiples et nombres premiers
1. Urne A : boules paires parmi {7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30} → boules paires : 10, 12, 24, 30 = 4 boules paires sur 6.
P(nombre pair) = 4/6 = 2/3
2. Urne B : boules premières parmi {2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25} → nombres premiers : 2, 5, 17 = 3 nombres premiers sur 9.
P(nombre premier) = 3/9 = 1/3
3. Multiples de 6 :
- Urne A : 12 et 30 → 2 multiples de 6 sur 6 boules.
- Urne B : 6 et 18 → 2 multiples de 6 sur 9 boules.
Les deux urnes contiennent le même nombre de multiples de 6 (2 chacune).
4. Boules ≥ 20 :
- Urne A (6 boules) : 24, 30 → 2 boules → P = 2/6 = 1/3
- Urne B (9 boules) : 21, 22, 25 → 3 boules → P = 3/9 = 1/3
La probabilité est 1/3 dans les deux urnes. Démonstration vérifiée.
5. Après ajout de la boule 50 (50 ≥ 20) :
- Urne A (7 boules) : 24, 30, 50 → 3 boules ≥ 20 → P = 3/7
- Urne B (10 boules) : 21, 22, 25, 50 → 4 boules ≥ 20 → P = 4/10 = 2/5
3/7 ≈ 0,4286 et 2/5 = 0,4 → les probabilités sont différentes.
Non, après l’ajout de la boule 50, les probabilités ne sont plus égales (3/7 ≠ 2/5).
Exercice 2 (23 points) — Aquathlon
Cette année, les professeurs d’EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).
Partie A — La course à pied
Le parcours ACDEB est tel que :
- A, C, B sont alignés et A, D, E sont alignés.
- ADC est un triangle rectangle en A.
- AC = 480 m ; CB = 120 m ; AE = 250 m ; DE = 50 m.
- Justifier que AD = 200 m.
- Calculer la longueur CD.
- Pour que le parcours soit validé, il faut que (CD) et (BE) soient parallèles et que l’angle AĈD soit supérieur à 20°.
a. Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?
b. L’angle AĈD est-il supérieur à 20° ?
c. Le parcours est-il validé ?
Partie B — La natation
Les temps de 9 élèves (distance : 200 m) : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.
- Quel est le temps médian de cette série ?
- Un poisson rouge nage à 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l’élève le plus rapide ?
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Exercice 3 (18 points) — QCM
Questionnaire à choix multiples. Aucune justification demandée. Une seule réponse exacte par question.
- Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?
A B C D 16,40 € 42 € 14 € 10,40 € - Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ?
A B C D Une symétrie centrale Une rotation Une translation Une symétrie axiale - Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?
A B C D 420 € 330 € 370 € 280 € - Quelle est l’aire du triangle rectangle ABC ?
A B C D 27 cm² 13,5 cm² 18 cm² 9 cm² - Quelle est la forme développée et réduite de (2x + 3)(x − 4) ?
A B C D 2x² − 5x − 12 2x² − 11x − 12 2x² − 12 3x − 1 - Quel est le volume de la pyramide ci-dessous ?
A B C D 23 cm³ 112 cm³ 336 cm³ 168 cm³
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Exercice 4 (20 points) — Algorithme
Au club « Mathsetmagie », on crée des programmes de calcul.
Partie A — Le programme de Zoé
• Choisir un nombre
• Soustraire 4
• Multiplier par 2
• Ajouter 8
- Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20.
- Quel résultat obtient-t-on avec ce programme si on choisit −7 comme nombre de départ ?
- Zoé prétend que son programme est « magique » car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?
Partie B — Le programme de Fred (Scratch)
- Démontrer que si le nombre de départ est x, le résultat est 20x + 50.
- Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 ?
- Constatant que son programme n’a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie la sixième ligne du programme pour que ce soit le cas.
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Exercice 5 (19 points) — Achat ou Location
Un garage propose 2 options :
- Option Achat : prix d’achat 22 400 € + assurance obligatoire 75 €/mois.
- Option Location : 425 €/mois (assurance comprise).
Partie A
- Montrer qu’avec l’option Achat, la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.
- Après 36 mois, calculer l’économie réalisée par le client s’il choisit l’option Location.
- Afin de comparer les dépenses, le client a réalisé le tableau suivant à l’aide d’un tableur :
Quelle formule doit être saisie dans la cellule B3 qui, étendue jusqu’à la cellule F3, permet de compléter le tableau ?B C D E F Nombre de mois 12 24 36 48 60 Dépense en € Option Achat 23 300 24 200 25 100 26 000 26 900 Dépense en € Option Location
Partie B
On modélise les deux options par des fonctions, où x est la durée en mois.
La fonction g (Location) : g(x) = 425x.
- Déterminer l’expression de f(x) pour l’option Achat.
- Par lecture graphique (courbes Cf et Cg), déterminer à partir de combien de mois l’option Achat est la plus avantageuse.
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