$ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ et $AC = 8$. Combien vaut $BC$ ?

$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $BC = \sqrt{100} = 10$.

Un triangle a pour côtés 5, 12 et 13. Est-il rectangle ?

Oui : $13^2 = 169$ et $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. D’après la réciproque de Pythagore, il est rectangle.

$(MN)\,//\,(BC)$, $AM = 3$, $AB = 9$, $AN = 4$. Combien vaut $AC$ ?

$\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{AC}$ donc $AC = \dfrac{4 \times 9}{3} = 12$.

Quelle formule donne le côté adjacent connaissant l’angle et l’hypoténuse ?

Le cosinus : $\text{cos} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

Côté opposé $= 5$, hypoténuse $= 10$. Quel est l’angle ?

$\text{sin}(A) = \dfrac{5}{10} = 0,5$ donc $A = 30°$.

Une translation conserve-t-elle les longueurs ?

Oui : la figure obtenue est superposable à la figure de départ.

Mathématiques · Brevet 3e

Théorèmes de géométrie

Pythagore, Thalès, trigonométrie et transformations du plan : les outils pour calculer une longueur, un angle et prouver des propriétés au brevet.

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Fiche 1 — Le théorème de Pythagore

1. Vocabulaire

Triangle rectangle

Un triangle qui possède un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est le plus long : c’est l’hypoténuse.

2. Le théorème

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

BC² = AB² + AC²

Triangle ABC rectangle en A : BC est l’hypoténuse.

Il sert à calculer une longueur quand on connaît les deux autres côtés.

3. Calculer l’hypoténuse

✏️ ABC rectangle en A, AB = 3 et AC = 4

On cherche l’hypoténuse BC :

BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5

Donc :BC = 5

4. Calculer un autre côté

✏️ ABC rectangle en A, BC = 13 et AB = 5

Cette fois l’hypoténuse BC est connue, on cherche AC : on soustrait.

AC² = BC² - AB²

AC² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

AC = √144 = 12

Donc :AC = 12

5. La réciproque (prouver un angle droit)

Si, dans un triangle, BC² = AB² + AC² (le plus grand côté au carré = somme des carrés des deux autres), alors le triangle est rectangle (et l’angle droit est opposé au plus grand côté).

✏️ Un triangle de côtés 6, 8 et 10 est-il rectangle ?

On compare le carré du plus grand côté à la somme :

10² = 100

6² + 8² = 36 + 64 = 100

Donc :Égalité vraie → rectangle

❌AB² = BC² + AC²

✅BC² = AB² + AC²

C’est toujours l’hypoténuse (le plus grand côté) que l’on met seule au carré d’un côté de l’égalité.

🎯 Mini-quiz de révision

1ABC est rectangle en A avec AB = 6 et AC = 8. Combien vaut BC ?
2Un triangle a pour côtés 5, 12 et 13. Est-il rectangle ?
3(MN) // (BC), AM = 3, AB = 9, AN = 4. Combien vaut AC ?
4Quelle formule donne le côté adjacent connaissant l’angle et l’hypoténuse ?
5Côté opposé = 5, hypoténuse = 10. Quel est l’angle ?
6Une translation conserve-t-elle les longueurs ?

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Mots-clés

PythagorehypoténuseréciproqueThalèsparallèlestrigonométriecosinussinustangentetranslationrotationsymétriehomothétie

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